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Open 2011 Algorithm Qual. 2 HARD - FoxIntegerLevelThree (この記事を編集する[管理者用])

Source

TopCoder Open 2011 Algorithm Qualification Round 2 HARD (1000pt)
Problem Statement
TopCoderニコ生オープン TCO11 Qual. 2 自分の参加記録

問題概要

 s(n) := nを10進数で書いたときの各桁の和
 d(n) := s(s(…(n)…))と1桁になるまでsをnにかましてできる整数
とする.
区間[a,b]内の整数xで
 x = y * d(y)
となるyが存在する物の数を求める問題.
a, bは10^10以下.

解法

まず,s(n)は単にmod 9とほとんど同じ.(mod 9が0なら9になるだけ)
後は,xが条件を満たすとは,
 1以上9以下整数kが存在して,x/kが整数で,x/kがmod 9でkに等しい
ということ.
よって,kで割り切れるか,というのは2520=LCM(1,2,...,9)周期で,さらに,割った物がmod 9でどうなるかを考えると,
2520*9の周期性があることがわかる.(xが条件を満たすならx+2520*9も条件を満たす)

C++によるスパゲッティなソースコード
// #includeとusing namespace std;は略

#define REP(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
#define rep(i,n) REP(i,0,n)

#define ll long long

int GCD(int a,int b){int r; while(a){r=b; b=a; a=r%a;} return b;}
int LCM(int a,int b){return a/GCD(a,b)*b;}

int is[1000000];

class FoxIntegerLevelThree {
public:
ll count(ll a, ll b) {
  int i,k,j,m;
  ll res = 0;

  m = 1; REP(i,2,10) m = LCM(m,i);
  m *= 9;

  rep(i,m) is[i] = 0;
  rep(i,m){
    k = i * (i%9);
    if(i%9==0) k = i*9;
    if(k<m) is[k]=1;
  }

  rep(i,m) if(is[i]){
    res += (b   + (m-i)) / m;
    res -= (a-1 + (m-i)) / m;
  }

  return res;
}

};

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